INFINITOS MAIORES QUE OUTROS EXISTEM?

Figura 1 - representação do infinito. (Fonte: SHAMIN ART, 2022)

Em teoria dos conjuntos, existem infinitos maiores que outros, o que é determinado pela cardinalidade dos conjuntos. Dois conjuntos têm igual cardinalidade se puderem ser correspondidos de forma biunívoca, ou seja, com uma relação um a um entre seus elementos. Alguns conjuntos podem ser "maiores" em cardinalidade do que outros, como os números reais em relação aos números naturais. Georg Cantor pioneiramente estudou esse conceito, introduzindo números cardinais para representar diferentes níveis de infinitude. Essa teoria é essencial para a matemática e tem aplicações em diversas áreas, como análise matemática e teoria dos números.

A frase “Alguns infinitos são maiores que outros” citada no livro bastante popular “A culpa é das estrelas” escrito por John Green (2012) é muito bonita no ponto de vista da literatura, mas e matematicamente ao menos faz sentido? A resposta é sim. Apesar de parecer algo nada intuitivo dizer que um infinito é maior que outro, essa afirmação se prova verdadeira, mas antes vamos tentar compreender o que é o infinito.

No dicionário encontramos a seguinte definição: “Infinito: Sem fim; que não se pode terminar, finalizar; eterno”. Para exemplificar, imagine o maior número que você conseguir e some um, observe que sempre existirá um maior. O infinito supera a capacidade humana de contar mas não nos impede de imaginá-los e manipulá-los. Porém, nem sempre foi assim, quando um dos pupilos de Pitágoras, Hipaso, mostrou a ideia de número irracional que seria o resultado da raiz de 2 foi amarrado a um peso e lançado ao mar segundo a lenda, afinal a ideia de um número que continua para sempre após a vírgula sem ao menos seguir um padrão era absurda para a época.

Contudo, há 500 anos antes de Cristo, a humanidade começa a contemplar o infinito com o paradoxo da dicotomia, um dos vários propostos pelo filósofo Zeno de Eleia. Este consiste na ideia que para uma pessoa caminhar do ponto A ao B ela precisa antes percorrer a metade desse percurso e antes ela precisa percorrer a metade disso, logo, observamos que, toda distância tem uma metade encontrando um conjunto infinitos gerado por elas, porém todos sabemos que é possível uma pessoa caminhar de um ponto até outro mas seria impossível completar esse infinitos percursos justamente porque não tem fim.

Figura 2: Animação mostrando trajeto de Aquiles.

Georg Cantor, matemático alemão do século XIX, fez importantes contribuições para a teoria dos conjuntos e o entendimento dos infinitos. Ele desenvolveu conceitos como cardinalidade e ordinalidade na teoria dos conjuntos. O paradoxo do Hotel de Cantor é uma ilustração intrigante da natureza dos infinitos. Nessa história, um hotel com infinitos quartos ocupados pode acomodar mais hóspedes ao pedir que cada ocupante se mude para um quarto com número dobrado. Esse paradoxo demonstra que há diferentes tamanhos de infinitos, desafiando a intuição comum sobre essa noção. As descobertas de Cantor sobre a hierarquia de infinitos e a teoria dos números transfinitos fundamentam a teoria dos conjuntos.

A cardinalidade de um conjunto é definida pelo número de elementos que esse conjunto possui, se dois conjuntos possuem a mesma quantidade de elemento sendo possível associar cada um deles com outro, em uma correspondência de um para um, sem deixar nenhum desses elementos de fora e sem repetição, dizemos que esses dois conjuntos possuem a mesma cardinalidade. Caso isso não aconteça, uma cardinalidade pode ser maior que a outra, como é o caso do intervalo de 0 à 1 que é maior que o conjunto dos números naturais.

REFERÊNCIAS

GREEN, J. A culpa é das estrelas. São Paulo: Intrínseca, 2012.

SHAMIN ART. Um desenho de um símbolo do infinito. In: https://br.freepik.com/vetores-premiumum-desenho-de-um-simbolo-do-infinito40581001.htm Acesso em: 05/08/2023.

Animação mostrando trajeto de Aquiles. In: https://www3.unicentro.br/petfisica/2017/09/21/paradoxo-da-dicotomia Acesso em 05/08/2023.

Existem infinitos maiores que outros infinitos? In: https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/237265/moreira_t_me_rcla.pdf?sequence=4 Acesso em 05/08/2023.

Existe alguma coisa maior do que o infinito? In: https://super.abril.com.br/especiais/existe-alguma-coisa-maior-do-que-o-infinito Acesso em 05/08/2023.